[C++] 백준(BOJ) - 2098 : 외판원 문제(TSP)
인프런에 있는 큰돌님의 강의 10주완성 C++ 코딩테스트 | 알고리즘 코딩테스트를 듣고 정리한 필기입니다.
문제
외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.
1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한 번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.
각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.
N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력
첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 16) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.
항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.
출력
첫째 줄에 외판원의 순회에 필요한 최소 비용을 출력한다.
알고리즘
- DP
- TSP 알고리즘
풀이
- dp배열의 초기화는 답이 없는 범위를 기반으로 진행한다
- 모든 노드를 방문해야 한다
- 순서는 상관 없다
- 비트마스킹 매개변수를 활용해서 모든 노드의 방문을 int형 변수 visited 하나로 체크한다
- vistied는 1부터($2^0$, 0번째 노드 방문) 시작
- 어떤 순서로 진행하든 결국 그 조합의 최소값이 중요
코드
// BOJ - 2098 : 외판원 순회
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define max_n 16
const int INF = 214700000;
int n, w[max_n][max_n], dp[max_n][1 << max_n];
int tsp(int here, int visited)
{
// 기저사례
if (visited == (1 << n) - 1)
{
return w[here][0] ? w[here][0] : INF;
}
// 메모이제이션
int& res = dp[here][visited];
if (res != -1) return res;
res = INF;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
if (visited & (1 << i)) continue; // 방문을 한 적 있다
if (w[here][i] == 0) continue; // 경로가 없다
res = min(res, tsp(i, visited | (1 << i)) + w[here][i]);
}
return res;
}
int main() {
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(NULL);
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < n; j++)
{
cin >> w[i][j];
}
}
memset(dp, -1, sizeof(dp)); // 초기화는 답이 없는 범위를 기반으로 진행
cout << tsp(0, 1) << '\n';
return 0;
}
평가
- 2의 32승 미만의 문제는 비트마스킹으로 완전탐색할 수 있다는 것을 고려하기
- 모든 경우의 수를 만들기가 힘든 경우 최소, 최대를 구하는 문제의 경우 조합만으로도 최적해를 찾아낼 수 있다
